给定正整数,若项数为的数列满足:对任意的,均有(其中),则称数列为“Γ数列”.(1)判断数列和是否是“Γ数列”,并说明理由;(2)若为“Γ数列”,求证:对恒成立
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给定正整数,若项数为的数列满足:对任意的,均有(其中),则称数列为“Γ数列”.(1)判断数列和是否是“Γ数列”,并说明理由;(2)若为“Γ数列”,求证:对恒成立
题型:不详
难度:
来源:
给定正整数
,若项数为
的数列
满足:对任意的
,均有
(其中
),则称数列
为“Γ数列”.
(1)判断数列
和
是否是“Γ数列”,并说明理由;
(2)若
为“Γ数列”,求证:
对
恒成立;
(3)设
是公差为
的无穷项等差数列,若对任意的正整数
,
均构成“Γ数列”,求
的公差
.
答案
(1)数列
不是“
数列”; 数列
是“
数列”;(2)详见解析;(3)数列
的公差
.
解析
试题分析:(1)判断数列
和
是否是“Γ数列”,根据“Γ数列”的定义,对任意的
,均有
,只要每一项都满足
,就是“Γ数列”,有一项不满足就不是“Γ数列”,对于数列
,
,观察数列中的项,
都大于
,顾不符合定义,对于数列
,
,观察数列中的每一项,都小于
,符合定义,故是“Γ数列”;(2) 若
为“Γ数列”,求证:
对
恒成立,本题直接证明似乎无从下手,因此可用反证法,即假设存在某项
,把它作为条件,可得
,设
,得出
,显然这与“
数列”定义矛盾,从而得证;(3)求
的公差
,由(2)可知
,分
,与
,两种情况讨论,当
易证符合,当
时,显然是递增数列,由“
数列”的定义可知
,即
,整理得
,当
时,不等式不成立,故不是“
数列”,因此得公差
.
(1)①因为
,数列
不是“
数列”, 2分
②因为
,又
是数列
中的最大项
所以数列
是“
数列”. 4分
(2)反证法证明:
假设存在某项
,则
.
设
,则
,
所以
,即
,
这与“
数列”定义矛盾,所以原结论正确. 8分
(3)由(2)问可知
.
①当
时,
,符合题设; 9分
②当
时,
由“
数列”的定义可知
,即
整理得
(*)
显然当
时,上述不等式(*)就不成立
所以
时,对任意正整数
,
不可能都成立.
综上讨论可知
的公差
. 13分
举一反三
若
是等差数列,首项
,
,则使前n项和
成立的最大正整数n是( )
A.2011
B.2012
C.4022
D.4023
题型:不详
难度:
|
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在
轴的正方向上,从左向右依次取点列
,以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列
,使
(
)都是等边三角形,其中
是坐标原点,则第2005个等边三角形的边长是
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
的前
项和为
,且
,则过 点
和
的直线的斜率是( )
A.1
B.2
C.4
D.
题型:不详
难度:
|
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若实数a,b,c成等差数列,点
在动直线
上的射影为
,点
,则
的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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天,为使投资的回报最多,你会选择哪种方案投资?( )
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B.方案二
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D.都可以
题型:不详
难度:
|
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