试题分析:(1)求数列的前4项,相对较容易,由题意可得成等比数列,而,要求得,对应再求得;(2)要求,实质上就是求,我们应求出的递推关系,从而求出通项,由题意,,而,这样就有,于是关于的递推关系就有了:,把它变形或用代入就可得到结论;(3)由(2)我们求出了,下面为了求,我们要把数列从前到后建立一个关系,分析已知,发现,这样就由而求出,于是,,得到数列的通项公式后,其前项和也就可求得了. 另外由于第(1)题中已知求出的数列的前4项(我们还可再求出接下来的一些项,增强想象),然后用猜想的方法猜测出其通项公式(),再数学归纳法证明之. 试题解析:(1)由题意得 ,,或. 2分 故数列的前四项为或. 4分 (2)∵成公比为的等比数列, 成公比为的等比数列 ∴, 又∵成等差数列, ∴. 得,, 6分 , ∴,,即. ∴ 数列数列为公差等差数列,且或. 8分 ∴或. 10分 (3)当时,由(2)得. ,, , . 13分 当时,同理可得,. 16分 解法二:(2)对这个数列,猜想, 下面用数学归纳法证明: ⅰ)当时,,结论成立. ⅱ)假设时,结论成立,即. 则时, 由归纳假设,. 由成等差数列可知,于是, ∴ 时结论也成立. 所以由数学归纳法原理知. 7分 此时. 同理对这个数列,同样用数学归纳法可证. 此时. ∴或. 10分 (3)对这个数列,猜想奇数项通项公式为. 显然结论对成立. 设结论对成立,考虑的情形. 由(2),且成等比数列, 故,即结论对也成立. 从而由数学归纳法原理知.于是(易见从第三项起每项均为正数)以及,此时. 13分 对于这个数列,同样用数学归纳法可证,此时. 此时. 16分 |