已知数列的前项和为满足.(1)函数与函数互为反函数,令,求数列的前项和;(2)已知数列满足,证明:对任意的整数,有.

已知数列的前项和为满足.(1)函数与函数互为反函数,令,求数列的前项和;(2)已知数列满足,证明:对任意的整数,有.

题型:不详难度:来源:
已知数列的前项和为满足.
(1)函数与函数互为反函数,令,求数列的前项和
(2)已知数列满足,证明:对任意的整数,有.
答案
(1);  (2)见解析
解析

试题分析:(1)先由题意求出的解析式,再利用数列前n项和与第n项关系,求出及第n项与第n-1项的递推关系,结合等比数列的定义知数列是等比数列,再根据等比数列通项公式求出的通项公式,由对数函数与指数函数互为反函数结合已知条件求出的解析式,将的通项公式代入求出的通项公式,利用数列求和方法求出;(2)求出的通项公式,将不等式左边具体化,利用放缩法化成等比数列求和问题求出和,通过放缩所证不等式.
试题解析:(1)由,得
时,有
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以
由题意得,所以
             ①
   ②
,所以
(2)由通项公式得,当为奇数时

为偶数时

为奇数时
所以对任意的整数,有.
举一反三
已知等差数列中,,则(     )
A.8B.21 C.28D.35

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已知数列满足,()
(1)若,数列单调递增,求实数的取值范围;
(2)若,试写出对任意成立的充要条件,并证明你的结论.
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已知表示数列的前项的和,若对任意满足
=(    )
A.B.C.D.

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数列满足,其前项积为,则=(   )
A.B.C.D.

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从数列中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.
(1)写出数列的一个是等比数列的子列;
(2)若是无穷等比数列,首项,公比,则数列是否存在一个子列
为无穷等差数列?若存在,写出该子列的通项公式;若不存在,证明你的结论.
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