如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设AP=mAD+nAB(m，n∈R)，则m+n

题型：不详难度：来源：

如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设

AP

=m

AD

+n

AB

(m，n∈R)，则m+n的取值范围是______．

答案

以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）
直线BD的方程为x+3y-6=0，C到BD的距离d=

2

10

=

10

5

∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x-2）²+（y-2）²=

2

5

，
设P（x，y）则

AP

=（x，y），

AD

=（0，2），

AB

=（6，0）
∴（x，y）=（6n，2m）
∴x=6n，y=2m，
∵P在圆内或圆上
∴（6n-1）²+（2m-1）²≤

2

5

，
解得1≤m+n≤

5

3

．
故答案为：[1，

5

3

]．