在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.求{an}的通项公式.

题型：不详难度：来源：

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹(2n+1)(n∈N^*),其中实数c≠0.求{a_n}的通项公式.

答案

a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n∈N^*

解析

由原式得=+(2n+1).令b_n=,
则b₁=,b_n+1=b_n+(2n+1),
因此对n≥2有b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+…+(b₂-b₁)+b₁=(2n-1)+(2n-3)+…+3+=n²-1+,
因此a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n≥2.
又当n=1时上式成立.
因此a_n=(n²-1)cⁿ+c^n-1,n∈N^*.