对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中, 对自然数,规定为的阶差分数列,其中.(1)已知数列的通项公式,试判断,是否为等差或等比数列,为什么?(2)若数列首项,

对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中, 对自然数,规定为的阶差分数列,其中.(1)已知数列的通项公式,试判断,是否为等差或等比数列,为什么?(2)若数列首项,

题型:不详难度:来源:
对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中, 对自然数,规定阶差分数列,其中
(1)已知数列的通项公式,试判断是否为等差或等比数列,为什么?
(2)若数列首项,且满足,求数列的通项公式。
(3)对(2)中数列,是否存在等差数列,使得对一切自然都成立?若存在,求数列的通项公式;若不存在,则请说明理由。
答案
(1)是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。
(2),猜想:
证明:数学归纳法。
(3)组合数性质证得,存在等差数列,使得对一切自然都成 。
解析

试题分析:(1), 1分
是首项为4,公差为2的等差数列。            2分
                3分
是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。
4分
(2),即,即,∴          6分
,∴,猜想:
7分
证明:ⅰ)当时,
ⅱ)假设时,            8分
时, 结论也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知,           10分
(3),即
.   ...11分
       13分
∴存在等差数列,使得对一切自然都成  14分
点评:中档题,本题综合性较强,将数列、数学归纳法、二项式系数的性质、组合数公式等综合考查。利用“功能、猜想、证明”的方法,研究得到数列的特征,是常见题型。(3)小题利用二项式系数的性质及组合数公式,得到证明恒等式的目的。
举一反三
在等差数列中,已知,那么等于         .
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公差不为0的等差数列{}的前21项的和等于前8项的和.若,则k=
A.20B.21C.22D.23

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设随机变量ξ的分布列如下:
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(3ξ-1)=(   )
A、4       B、        C、           D、5
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数列的一个通项公式是
A.B.
C.D.

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在等差数列中,若是方程的两个根,那么的值为(    )
A.-6 B.-12 C.12D.6

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