设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且,(1)求,的通项公式;(2)记的前项和为,求证:;(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和,求证:.
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设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且,(1)求,的通项公式;(2)记的前项和为,求证:;(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
设
是各项都为正数的等比数列,
是等差数列,且
,
(1)求
,
的通项公式;
(2)记
的前
项和为
,求证:
;
(3)若
均为正整数,且
记所有可能乘积
的和
,求证:
.
答案
(1)
(2)证法一:放缩法;
(2)证法二: 应用
(3)证法一:错位相减法;证法二:用数学归纳法证明。
解析
试题分析:(1)设
的公比为
的公差为
,则
2分
解得
所以
5分
(2)证法一:由题意得
6分
8分
所以
9分
(2)证法二:由题意得
6分
,当
时
且
也成立,
8分
所以
9分
(3)证法一:由题意
11分
令
以上两式相减得
13分
又
,所以
14分
证法二:用数学归纳法证明。
(1)当
时,
所以结论成立。 10分
(2)假设当
时结论成立,即
。 11分
当
时,
,所以当
时也成立 13分
综合(1)、(2)知
对任意
都成立 14分
点评:典型题,本题综合性较强,处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题,提供了“错位相减求和、放缩、证明”和“数学归纳法”等证明方法,能拓宽学生的视野。
举一反三
在
角
的对边分别为
,若
成等差数列,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
的公差为
,若其前13项和
,则
( )
A.36
B.39
C.42
D.45
题型:不详
难度:
|
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正项数列
前
项和
满足
且
成等比数列,求
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
中,若
,则
( )
A.17
B.16
C.15
D.14
题型:不详
难度:
|
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已知数列
满足
,
若
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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