试题分析:(Ⅰ)由题意,①,当时,有②, ②-①,得,各项为正,, 从而,故成公差2的等差数列.又时,,解得.故. 4分 (Ⅱ),要使,,成等差数列,须, 即,整理得,因为,为正整数,只能取2,3,5.故,,. 10分 (Ⅲ)作如下构造:,,,其中,它们依次为数列中第项,第项,第,显然它们成等比数列,且,所以它们能组成三角形. 由的任意性,知这样的三角形有无穷多个. 下面用反证法证明其中任意两个和不相似:若∽,且,则,整理得,所以,这与矛盾,因此,任意两个三角形不相似.故原命题正确. 16分 点评:基础题,首先利用的关系,确定得到的通项公式,进一步研究中项的关系。为证明,,能构成三角形,在明确表达式的基础上,应用了反证法。 |