已知数列具有性质:①为整数;②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.(1)若为偶数,且成等差数列,求的值;(2)设(且N),数列的前项和为,求证:;(3

已知数列具有性质:①为整数;②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.(1)若为偶数,且成等差数列,求的值;(2)设(且N),数列的前项和为,求证:;(3

题型:不详难度:来源:
已知数列具有性质:①为整数;②对于任意的正整数,当为偶数时,
;当为奇数时,.
(1)若为偶数,且成等差数列,求的值;
(2)设(N),数列的前项和为,求证:
(3)若为正整数,求证:当(N)时,都有.
答案
(1)是奇数,则 若是偶数,则
(2)根据数列的求和公式来证明不等式
(3)要证明对于当(N)时,都有.,则要对于其通项公式分情况来得到其通项公式的表达式证明。
解析

试题分析:⑴设,则:
分两种情况: 是奇数,则
是偶数,则
⑵当时,


⑶∵,∴,∴
由定义可知:  ∴


,∴
综上可知:当时,都有
点评:本试题主要是考查了等差数列和数列的求和,以及数列与不等式的证明,属于中档题。
举一反三
已知等差数列中,, 则n=(     )
A.4B.5C.6D.7

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若等差数列的前3项和,则等于(   )
A.3B.4C.5D.6

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等差数列中,若,则=(   )
A.15B.30 C.45D.60

题型:不详难度:| 查看答案
在等差数列中,,且为数列的前项和,则使的最小值为(   )
A.10B.11C.20D.21

题型:不详难度:| 查看答案
设数列{}是等差数列,时,若自然数满足,使得成等比数列,(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列的通项公式及其前n项的和
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