试题分析:(Ⅰ)证明:, 由条件可得,所以 (4分) (Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+9]=(-1)n+1(an-2n+6) =(-1)n·(an-3n+9)=-bn 又b1=,所以 当λ=-6时,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列, 当λ≠-6时,b1=≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+). 故当λ≠-6时,数列{bn}是以-(λ+6)为首项,-为公比的等比数列. (10分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-6,故知bn= -(λ+6)·(-)n-1,于是可得 Sn= 要使a<Sn<b对任意正整数n成立, 即a<-(λ+6)·[1-(-)n]<b(n∈N+) ① 当n为正奇数时,1<f(n) ∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= , 于是,由①式得a<-(λ+6)< 当a<b3a时,由-b-6-3a-6,不存在实数满足题目要求; 当b>3a时存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b, 且λ的取值范围是(-b-6, -3a-6) (16分) 点评:熟练的根据等差数列和等比数列的定义和求和来求解,属于中档题。 |