试题分析: (1)解法一:根据是与的等差中项,利用等差中项得到,()①, 当时有 ②,则①-②可得,从而可得数列通项. 解法二:根据是与的等差中项,利用等差中项得到,()①,根据该式的结构特征,利用构造法,可构造出等比数列,从而求得,进而利用得到数列的通项. (2)根据(1)的结论可知,数列是等比数列,所以可以得到其前项和;代入化简,讨论的奇偶发现, 为奇数时,恒成立; 为偶数时,可将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题,利用单调性可判断是否存在这样的正整数. 试题解析:(1)解法一:因为是与的等差中项, 所以(),即,()① 当时有 ② ①-②得,即对都成立 又根据①有即,所以 所以. 所以数列是首项为1,公比为的等比数列. 解法二: 因为是与的等差中项, 所以(),即,() 由此得(), 又,所以(), 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 得,即(), 所以,当时,, 又时,也适合上式,所以. (2)根据(1)的结论可知, 数列是首项为1,公比为的等比数列, 所以其前项和为. 原问题等价于()①恒成立. 当为奇数时,不等式左边恒为负数,右边恒为正数,所以对任意正整数不等式恒成立; 当为偶数时,①等价于恒成立, 令,有,则①等价于在恒成立, 因为为正整数,二次函数的对称轴显然在轴左侧, 所以当时,二次函数为增函数,故只须,解得,, 所以存在符合要求的正整数,且其最大值为11. 求通项;构造等比数列法;分类讨论;二次函数在固定区间恒成立. |