如图是见证魔术师“论证”64=65飞神奇.对这个乍看起来颇为神秘的现象,我们运用数学知识不难发现其中的谬误.另外,我们可以更换图中的数据,就能构造出许多更加直观
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如图是见证魔术师“论证”64=65飞神奇.对这个乍看起来颇为神秘的现象,我们运用数学知识不难发现其中的谬误.另外,我们可以更换图中的数据,就能构造出许多更加直观
题型:不详
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如图是见证魔术师“论证”64=65飞神奇.对这个乍看起来颇为神秘的现象,我们运用数学知识不难发现其中的谬误.另外,我们可以更换图中的数据,就能构造出许多更加直观与“令人信服”的“论证”.
请你用数列知识归纳:(1)这些图中的数所构成的数列:________;(2)写出与这个魔术关联的一个数列递推关系式:________.
答案
(1)
a
n
+2
=
a
n
+1
+
a
n
,
a
1
=1,
a
2
=1
(2)
a
n
+2
·
a
n
-
=(-1)
n
-1
和
≈0.618.
解析
利用推理知识求解.由图形可知,图中的数构成裴波纳契数列,所以(1)
a
n
+2
=
a
n
+1
+
a
n
,
a
1
=1,
a
2
=1;(2)题右图中间实质上有一个面积是1的平行四边形,有时空着,有时重合,所以与魔术有关的数列递推关系式可能是
a
n
+2
·
a
n
-
=(-1)
n
-1
和
≈0.618.
举一反三
已知数列{
a
n
}满足:
a
1
=
,
a
n
+1
=
(
n
∈N
*
).
(1)求
a
2
,
a
3
的值;
(2)证明:不等式0<
a
n
<
a
n
+1
对于任意
n
∈N
*
都成立.
题型:不详
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已知数列{
a
n
}的前三项分别为
a
1
=5,
a
2
=6,
a
3
=8,且数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
满足
S
n
+
m
=
(
S
2
n
+
S
2
m
)-(
n
-
m
)
2
,其中
m
,
n
为任意正整数.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式及前
n
项和
S
n
;
(2)求满足
-
a
n
+33=
k
2
的所有正整数
k
,
n
.
题型:不详
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设数列{
b
n
}满足
b
n
+2
=-
b
n
+1
-
b
n
(
n
∈N
*
),
b
2
=2
b
1
.
(1)若
b
3
=3,求
b
1
的值;
(2)求证数列{
b
n
b
n
+1
b
n
+2
+
n
}是等差数列;
(3)设数列{
T
n
}满足:
T
n
+1
=
T
n
b
n
+1
(
n
∈N
*
),且
T
1
=
b
1
=-
,若存在实数
p
,
q
,对任意
n
∈N
*
都有
p
≤
T
1
+
T
2
+
T
3
+…+
T
n
<
q
成立,试求
q
-
p
的最小值.
题型:不详
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已知无穷数列{
a
n
}的各项均为正整数,
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和.
(1)若数列{
a
n
}是等差数列,且对任意正整数
n
都有
S
n
3
=(
S
n
)
3
成立,求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)对任意正整数
n
,从集合{
a
1
,
a
2
,…,
a
n
}中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与
a
1
,
a
2
,…,
a
n
一起恰好是1至
S
n
全体正整数组成的集合.
(ⅰ)求
a
1
,
a
2
的值;
(ⅱ)求数列{
a
n
}的通项公式.
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设{
a
n
}是公差为正数的等差数列,若
a
1
+
a
2
+
a
3
=15,
a
1
a
2
a
3
=80,则
a
11
+
a
12
+
a
13
=________.
题型:不详
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