数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)求数列、的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
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数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)求数列、的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
题型:不详
难度:
来源:
数列
、
的每一项都是正数,
,
,且
、
、
成等差数列,
、
、
成等比数列,
.
(Ⅰ)求
、
的值;
(Ⅱ)求数列
、
的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数
,有
.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
,
;(Ⅲ)答案详见解析.
解析
试题分析:(Ⅰ)依题意,
,
,并结合已知
,
,利用赋值法可求
、
的值;(Ⅱ)由
①,
②,且
,则
,
(
),代入①中,得关于
的递推公式
,故可判断数列
是等差数列,从而可求出
,代入
(
)中,求出
(
),再检验
时,
是否满足,从而求出
;(Ⅲ)和式
相当于数列
的前
项和,先确定其通项公式,根据通项公式的不同形式,选择相应的求和方法,先求得
,不易求和,故可考虑放缩法,将其转化为容易求和的形式,再证明和小于
.
试题解析:(Ⅰ)由
,可得
,由
,可得
.
(Ⅱ)因为
、
、
成等差数列,所以
…①.因为
、
、
成等比数列,所以
,因为数列
、
的每一项都是正数,所以
…②.于是当
时,
…③.将②、③代入①式,可得
,因此数列
是首项为4,公差为2的等差数列,所以
,于是
.由③式,可得当
时,
.当
时,
,满足该式子,所以对一切正整数
,都有
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为
.
方法一:首先证明
(
).
因为
,
所以当
时,
.
当
时,
.
综上所述,对一切正整数
,有
方法二:
.
当
时,
.
当
时,
;当
时,
.
综上所述,对一切正整数
,有
方法三:
.当
时,
.
当
时,
;当
时,
;当
时,
.
综上所述,对一切正整数
,有
举一反三
已知数列
中,
,且
,则
的值为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
数列
,
满足
.
(1)若
是等差数列,求证:
为等差数列;
(2)若
,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列
为等差数列,若
,
,则
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列
为等差数列,若
,
,则
( )
A.36
B.42
C.45
D.63
题型:不详
难度:
|
查看答案
设等差数列
的前
项和为
,已知
,
.
(1)求
;
(2)若从
中抽取一个公比为
的等比数列
,其中
,且
,
.
①当
取最小值时,求
的通项公式;
②若关于
的不等式
有解,试求
的值.
题型:不详
难度:
|
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