试题分析: (1)解等差数列问题,主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式 求出公差d即可,(2)①利用等比数列 每一项都为等差数列 中项这一限制条件,对公比 逐步进行验证、取舍,直到满足.因为研究的是 取最小值时的通项公式,因此可从第二项开始进行验证,首先满足的就是所求的公比 ,②由①易得 与 的函数关系 ,并由 为正整数初步限制 取值范围,当 且 时适合题意,当 且 时,不合题意.再由不等式 有解,归纳猜想并证明 取值范围为 本题难点是如何说明当 时不等式 即 无解,可借助研究数列单调性的方法进行说明. 试题解析: (1)设等差数列的公差为 ,则 ,解得 , 2分 所以 . 4分 (2)因为数列 是正项递增等差数列,所以数列 的公比 , 若 ,则由 ,得 ,此时 ,由 , 解得 ,所以 ,同理 ; 6分 若 ,则由 ,得 ,此时 , 另一方面, ,所以 ,即 , 8分 所以对任何正整数 , 是数列 的第 项.所以最小的公比 . 所以 . 10分 (3)因为 ,得 ,而 , 所以当 且 时,所有的 均为正整数,适合题意; 当 且 时, 不全是正整数,不合题意. 而 有解,所以 有解,经检验,当 , , 时, 都是 的解,适合题意; 12分 下证当 时, 无解, 设 , 则 , 因为 ,所以 在 上递减, 又因为 ,所以 恒成立,所以 ,所以 恒成立, 又因为当 时, ,所以当 时, 无解. 15分 综上所述, 的取值为 16分 |