试题分析:(1)这个问题可以用特殊值法,数列是等差数列,则前3项也成等差数列,利用它就可求出,或者先由已知求出通项公式,再与等差数列的通项公式比较求出,或者假设是等差数列,则代入已知,求出,然后与其通项公式比较,得出;(2)要证数列不是等比数列,只要证明不能成等比数列即可,但本题条件较少,可用反证法,假设它是等比数列,由成等比,求出,然后再求,看是否成等比,如果不成等比,则假设错误,命题得证;(3)数列为等比数列,则是常数,设,这是关于的恒等式, ,,于是有对应项系数相等,由此可求出,从而得到结论. 试题解析:(1)解法一:由已知,, (1分) 若是等差数列,则,即, (1分) 得,, 故. (1分) 所以,数列的首项为,公差为. (1分) 解法二:因为数列是等差数列,设公差为,则, 故, (1分) ,又,所以有, (1分) 又,从而. (1分) 所以,数列的首项为,公差为. (1分) (2)假设数列是等比数列,则有, 即, (1分) 解得,从而,, (1分) 又. (2分) 因为,,,不成等比数列,与假设矛盾, 所以数列不是等比数列. (2分) (3)由题意,对任意,有(为定值且), 即. (2分) 即, (1分) 于是,, (1分) 所以, (2分) 所以,当,时,数列为等比数列. (1分) 此数列的首项为,公比为,所以. 因此,的通项公式为. (1分) |