试题分析:(1)已知直角三角形中三边是正整数,并且成等差数列.由此可得首项与公差的关系.从而写出三角形的面积的表达式.由于面积是从小到大排的,所以把公差.改成没关系.由于数列的前项的和的特点是每项是一项正一项负.所以相邻的两项用平方差公式化简.即可得一个等差数列的求和的式子. 由得,由于指数函数是爆炸性的变化,所以要符合该不等式的不是很多,再由.利用二项式定理展开即可得时,.所以只有2,3,4三种情况. (2);因为成等比数列.解直角三角形三边的关系可求得.所以可以写出的表达式.在递推一个式子.两式相加,再利用==.从而可得.从而即可得解答结论.再说明前三项符合即可. 试题解析:(1)设的公差为,则 设三角形的三边长为,面积, 2分
由得, 当时,, 经检验当时,,当时, 综上所述,满足不等式的所有的值为2、3、4 6分 (2)证明因为成等比数列,. 由于为直角三角形的三边长,知,, 8分 又,得, 于是
,则有. 故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形 10分 因为 , ,由数学归纳法得: 由,同理可得, 故对于任意的都有是正整数 12分 |