试题分析:(Ⅰ)由条件可得数列 隔项成等差数列,从而分别得到n为奇数和偶数时的通项公式,合并即得数列 的通项公式.再由数列 前n项的积为 ,由 再验证 时的情况,即可得到 的通项公式;(Ⅱ)先求出 的表达式,再假设 成等差数列,由等差中项的知识, ,代入发现等式恒不成立,从而得到不存在常数a 使数列 成等差数列的结论;(Ⅲ)由上问可知即证明存在 ,满足对任意自然数 时, ,易知存在m=4使得当 时, 恒成立.接着用数学归纳法证明之. 试题解析:(Ⅰ)由题知 ,∴ ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012005233-69514.png) 即数列 隔项成等差数列, 1分 又 ∴当n为奇数时, , 当n为偶数时, 2分 ∴对一切 3分 又 ,当 时 ,且 时满足上式, ∴对一切 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,数列 成等差数列,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012005235-53318.png) ∴ 7分 若存在常数a,使得 成等差数列,则 在 时恒成立 即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012005245-44357.png) ∴不存在常数a 使数列 成等差数列 9分 (Ⅲ)存在 使得当 时, 恒成立, 即当 时, ,下面用用数学归纳法证明: ①当 时, . ②假设 时, 成立,即 . 则当 , ,所以 时, 成立. 综合①②得, 成立.所以当 时, . 13分 |