试题分析:(Ⅰ)由是与的等比中项可得,根据等比数列基本量可得到关于的方程,从而求出,由 得到数列的通项公式; (Ⅱ)由题中所给关于表达式化简得用表示的表达式,即,这样可联想到去求出,利用等差中项可求出的值,并由此求出的表达式,最后根据求的表达式结合等差数列的定义去证明它是一个等差数列; (Ⅲ)由(Ⅰ)知数列的通项公式,由(Ⅱ)知数列的通项公式,结合题中要求分析得:, ,则可得出数列的大体如下:,可见数列的前三项均为,由此可验证的具体情况,可得其中符合题中要求,当时,分析不可能为,因为前面的永大于,那么要存在肯定为,这样就可得到关于一个假设的等式,并可化简得关于的表达式,根据特点可设出对应的函数,最后由导数在函数中的运用去判断出在上函数恒为正. 试题解析:解:(Ⅰ)因为,所以, 解得(舍),则 3分 又,所以 5分 (Ⅱ)由,得, 所以, 则由,得 8分 而当时,,由(常数)知此时数列为等差数列 10分 (Ⅲ)因为,易知不合题意,适合题意 11分 当时,若后添入的数2,则一定不适合题意,从而必是数列中的 某一项,则, 所以,即 13分 记,则, 因为, 所以当时,,又, 从而,故在[3,递增. 则由知=0在[3,无解, 即都不合题意 15分 综上知,满足题意的正整数仅有m=2 16分 |