试题分析:(Ⅰ)证明对每一个 ,存在唯一的 ,满足 ,只需证明两点,第一证 在 上为单调函数,第二证, 在区间 的端点的函数值异号,本题是高次函数,可用导数法判断单调性,而判断 的符号是,可用放缩法;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的 构成数列 ,判断数列 的单调性,由(Ⅰ)知 在 上递增,只需比较 的大小,由(Ⅰ)知 ,故 ,而 ,从而得到 ,而 ,所以 ,这样就可判断数列 的单调性;(Ⅲ)对任意 , 满足(Ⅰ),试比较 与 的大小,由(Ⅱ)知数列 单调递减,故 ,即比较 与 的大小,由(Ⅰ)知 ,写出 与 的式子,两式作差即可.本题函数与数列结合出题,体现学科知识交汇点的灵活运用,的确是一个好题,起到把关题的作用. 试题解析:(Ⅰ) ,显然,当 时, ,故 在 上递增,又 , ,故存在唯一的 ,满足 ; (Ⅱ)因为 ,所以 , ,由(Ⅰ)知 在 上递增,故 ,即数列 单调递减; (Ⅲ) 由(Ⅱ)数列 单调递减,故 ,而 , ,两式相减:并结合 ,以及 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012022311-40880.png) ,所以有 . |