设函数 (Ⅰ)证明对每一个,存在唯一的,满足;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的构成数列,判断数列的单调性并证明;(Ⅲ)对任意,满足(Ⅰ),试比较与的大小.

设函数 (Ⅰ)证明对每一个,存在唯一的,满足;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的构成数列,判断数列的单调性并证明;(Ⅲ)对任意,满足(Ⅰ),试比较与的大小.

题型:不详难度:来源:
设函数 
(Ⅰ)证明对每一个,存在唯一的,满足
(Ⅱ)由(Ⅰ)中的构成数列,判断数列的单调性并证明;
(Ⅲ)对任意满足(Ⅰ),试比较的大小.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)数列单调递减,证明详见解析;(Ⅲ) .
解析

试题分析:(Ⅰ)证明对每一个,存在唯一的,满足,只需证明两点,第一证上为单调函数,第二证,在区间的端点的函数值异号,本题是高次函数,可用导数法判断单调性,而判断的符号是,可用放缩法;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的构成数列,判断数列的单调性,由(Ⅰ)知上递增,只需比较的大小,由(Ⅰ)知,故,而,从而得到,而,所以,这样就可判断数列的单调性;(Ⅲ)对任意满足(Ⅰ),试比较的大小,由(Ⅱ)知数列单调递减,故,即比较的大小,由(Ⅰ)知,写出的式子,两式作差即可.本题函数与数列结合出题,体现学科知识交汇点的灵活运用,的确是一个好题,起到把关题的作用.
试题解析:(Ⅰ) ,显然,当时,,故上递增,又,故存在唯一的,满足 ;
(Ⅱ)因为,所以,由(Ⅰ)知上递增,故,即数列单调递减;
(Ⅲ) 由(Ⅱ)数列单调递减,故,而 ,两式相减:并结合,以及 ,所以有 .
举一反三
设数列满足:
(Ⅰ)求的通项公式及前项和
(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且.求的通项公式,并证明:
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已知等差数列的公差,若,则该数列的前项和的最大值是(     )
A.B.C.D.

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是等差数列的前项和,若,则(   )
A.B.C.2D.

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若数列的前项和为,则       
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已知数列  的前项和是 
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项的和   .
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