已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 证明.

题型：不详难度：来源：

已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 证明.

答案

(Ⅰ)  (Ⅱ)见解析

解析

(Ⅰ)设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以
S₄ + 2S₂ =4S₄ – S₃，即，于是，又=，
所以等比数列的通项公式为=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，所以=，
当n为奇数时，随n的增大而减小，所以=；
当n为偶数时，随n的增大而增大，所以=，
故对于，有.
本题第（Ⅰ）问，由S₃ + a₃, S₅ + a₅, S₄ + a₄成等差数列可以求出公比，进而由等比数列的通项公式求出结果；第(Ⅱ)问，先求出，然后分n为奇数与偶数讨论得出数列的最大项与最小项的值.对第（Ⅰ）问，要注意细心计算；第二问，注意分n为奇数与偶数两种情况讨论.
【考点定位】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.