已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 证明.

已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 证明.

题型:不详难度:来源:
已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 证明.
答案
(Ⅰ)  (Ⅱ)见解析
解析
(Ⅰ)设等比数列的公比为,因为成等差数列,所以
S4 + 2S2 =4S4 – S3,即,于是,又=
所以等比数列的通项公式为=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,所以=
当n为奇数时,随n的增大而减小,所以=
当n为偶数时,随n的增大而增大,所以=
故对于,有.
本题第(Ⅰ)问,由S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列可以求出公比,进而由等比数列的通项公式求出结果;第(Ⅱ)问,先求出,然后分n为奇数与偶数讨论得出数列的最大项与最小项的值.对第(Ⅰ)问,要注意细心计算;第二问,注意分n为奇数与偶数两种情况讨论.
【考点定位】本小题主要考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前n项和公式,数列的基本性质等基础知识,考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.
举一反三
在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=   
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已知等差数列的前三项依次为,则       
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是等差数列,若,则数列前8项的和为(   ).
A.56B.64C.80D.128

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数列满足
(1)计算,由此猜想通项公式,并用数学归纳法证明此猜想;
(2)若数列满足,求证:
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已知数列的前项和为 ,对于任意的恒有    
(1) 求数列的通项公式 
(2)若证明: 
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