数列满足.(1)计算,,,,由此猜想通项公式,并用数学归纳法证明此猜想;(2)若数列满足,求证:.
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数列满足.(1)计算,,,,由此猜想通项公式,并用数学归纳法证明此猜想;(2)若数列满足,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
数列
满足
.
(1)计算
,
,
,
,由此猜想通项公式
,并用数学归纳法证明此猜想;
(2)若数列
满足
,求证:
.
答案
(1)1,
,
,
a
n
=
(n∈N
*
).
(2)运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。
解析
试题分析:解:(1)当n=1时,a
1
=S
1
=2-a
1
,∴a
1
=1.
当n=2时,a
1
+a
2
=S
2
=2×2-a
2
,∴a
2
=
. 1分
当n=3时,a
1
+a
2
+a
3
=S
3
=2×3-a
3
,∴a
3
=
.
当n=4时,a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=S
4
=2×4-a
4
,∴a
4
=
. 2分
由此猜想a
n
=
(n∈N
*
). 4分
现用数学归纳法证明如下:
①当n=1时, a
1
=
=1,结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N
*
)时,结论成立,即a
k
=
,那么当n=k+1时,
a
k
+1
=S
k
+1
-S
k
=2(k+1)-a
k
+1
-2k+a
k
=2+a
k
-a
k
+1
,
∴2a
k
+1
=2+a
k
,∴a
k
+1
=
=
=
,故当n=k+1时,结论成立,
由①②知猜想a
n
=
(n∈N
*
)成立. 8分
(2)由(1)知,
,
. 9分
解法1:当
时,
10分
. 12分
解法2:当
时,
,
10分
. 12分
解法3: 当
时,
10分
. 12分
点评:主要是考查了数列的猜想以及数学归纳法的运用,属于基础题。
举一反三
已知数列
的前
项和为
,对于任意的
恒有
(1) 求数列
的通项公式
(2)若
证明:
题型:不详
难度:
|
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设等差数列
的前
项和为
,且
,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设数列
满足
,求
的通项公式;
(3)求数列
前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
的前n项和为
, 公差为d, 已知
, 则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
的前
项和为
,若
,
,
.
(1)求数列
的通项公式:
(2)令
,
.
①当
为何正整数值时,
;
②若对一切正整数
,总有
,求
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,
,则其公差为
.
题型:不详
难度:
|
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