已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{an}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ) 求数列{an},{
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{an}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ) 求数列{an},{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
n
是S
n
与2的等差中项,数列{a
n
}中,b
1
=1,点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上.
(Ⅰ) 求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式a
n
和b
n
;
(Ⅱ) 设c
n
=a
n
•b
n
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
答案
(1)a
n
=2
n
b
n
=2n-1
(2)T
n
=(2n-3)2
n+1
+6
解析
试题分析:(Ⅰ)先利用a
n
是S
n
与2的等差中项把1代入即可求a
1
,利用S
n
=2a
n
-2,再写一式,两式作差即可求数列{a
n
}的通项;对于数列{b
n
},直接利用点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上,得数列{b
n
}是等差数列即可求通项;
(Ⅱ)先把所求结论代入求出数列{c
n
}的通项,再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和.
解:(Ⅰ)∵a
n
是S
n
与2的等差中项,
∴S
n
=2a
n
-2,①∴a
1
=S
1
=2a
1
-2,解得a
1
=2
n≥2时,S
n-1
=2a
n-1
-2,②
①-②可得:a
n
=2a
n
-2a
n-1
,
∴a
n
=2a
n-1
(n≥2),即数列{a
n
}是等比数列
∴a
n
=2
n
,
∵点P(b
n
,b
n+1
)在直线x-y+2=0上,
∴b
n
-b
n+1
+2=0,
∴b
n+1
-b
n
=2,即数列{b
n
}是等差数列,又b
1
=1,
∴b
n
=2n-1;
(Ⅱ)∵c
n
=(2n-1)2
n
,
∴T
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
n
b
n
=1×2+3×2
2
+5×2
3
+…+(2n-1)2
n
,
∴2T
n
=1×2
2
+3×2
3
+…+(2n-3)2
n
+(2n-1)2
n+1
,
∴-T
n
=1×2+(2×2
2
+2×2
3
+…+2×2
n
)-(2n-1)2
n+1
,
即:-T
n
=1×2+(2
3
+2
4
+…+2
n+1
)-(2n-1)2
n+1
,
∴T
n
=(2n-3)2
n+1
+6.
点评:本题考查数列的通项,考查数列求和的错位相减法,考查计算能力,属于中档题
举一反三
在等差数列
中,
,
,则
的前5项和
=
A.7
B.15
C.20
D.25
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项公式
(
),若前n项的和
,则项数n为
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
的前
项和为
,且
,
(1)求数列
的通项公式;
(2)求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
是首项
的等比数列,其前
项和
中,
、
、
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列{
}的前
项和为
;
(3)求满足
的最大正整数
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
的公差
=1,前
项和为
.
(I)若
;
(II)若
题型:不详
难度:
|
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