在数列中,对于任意,等式:恒成立,其中常数.(1)求的值; (2)求证:数列为等比数列;(3)如果关于的不等式的解集为,试求实数的取值范围.

在数列中,对于任意,等式:恒成立,其中常数.(1)求的值; (2)求证:数列为等比数列;(3)如果关于的不等式的解集为,试求实数的取值范围.

题型:不详难度:来源:
在数列中,对于任意,等式:恒成立,其中常数
(1)求的值;
(2)求证:数列为等比数列;
(3)如果关于的不等式的解集为,试求实数的取值范围.
答案
(1);(2)只需求出即可;(3)
解析

试题分析:(Ⅰ) 因为
所以
解得 .                3分
(Ⅱ)当时,由,   ①
,           ②
将①,②两式相减,得,
化简,得,其中.         5分
因为
所以,其中.           6分
因为 为常数,
所以数列为等比数列.            8分
(Ⅲ)  由(Ⅱ)得,                 9分
所以

又因为,所以不等式
可化简为
,∴原不等式               11分
由题意知,不等式的解集为
因为函数上单调递增,
所以只要求 即可,
解得.                 14分
点评:(1)解此题的关键是通过证明数列是等比数列,从而求出数列的通项公式。(2)解决恒成立问题常用的方法是分离参数法。
举一反三
是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求数列的前项和
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已知等差数列的值是(   )
A.15B.30C.31D.64

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若两个等差数列的前项和分别是,已知,则
A.B.C.7D.

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在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10         
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在等差数列中,已知,则为  ( )
A.B.C.D.

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