(本小题满分14分)已知数列满足:(其中常数).(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求证:当时,数列中的任何三项都不可能成等比数列;(Ⅲ)设为数列的前项和.求证:若任
试题库
首页
(本小题满分14分)已知数列满足:(其中常数).(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求证:当时,数列中的任何三项都不可能成等比数列;(Ⅲ)设为数列的前项和.求证:若任
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
已知数列
满足:
(其中常数
).
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求证:当
时,数列
中的任何三项都不可能成等比数列;
(Ⅲ)设
为数列
的前
项和.求证:若任意
,
答案
(1)
a
n
=(2
n
+1)·
λ
n
-1
(
n
∈
N
*
).(2)运用反证法思想 ,假设存在
a
r
,
a
s
,
a
t
成等比数列,然后推理论证得出矛盾。
(3)运用数列的通项公式以及数列的错位相减法的求和来证明,不等式的成立。
解析
试题分析:解:(Ⅰ)当
n
=1时,
a
1
=3.
当
n
≥2时,因为
,
①
所以
. ②
①-②得
,所以
a
n
=(2
n
+1)·
λ
n
-1
(
n
≥2,
n
∈N
*
).……………… 3分
又
a
1
=3也适合上式,
所以
a
n
=(2
n
+1)·
λ
n
-1
(
n
∈
N
*
). …………………… 4分
(Ⅱ)当
λ
=4时,
a
n
=(2
n
+1)·4
n
-1
.
(反证法)假设存在
a
r
,
a
s
,
a
t
成等比数列,
则[(2
r
+1)
·4
r
-1
]· [(2
t
+1)
·4
t
-1
]=(2
s
+1)
2
·4
2
s
-2
.
整理得(2
r
+1) (2
t
+1) 4
r
+
t
-2
s
=(2
s
+1)
2
.
由奇偶性知
r
+
t
-2
s
=0.
所以(2
r
+1) (2
t
+1)=(
r
+
t
+1)
2
,即(
r
-
t
)
2
=0.这与
r
≠
t
矛盾,
故不存在这样的正整数
r
,
s
,
t
,使得
a
r
,
a
s
,
a
t
成等比数列. ……… 8分
(Ⅲ)
S
n
=3+5
λ
+7
λ
2
+…+(2
n
+1)
λ
n
-1
.
当
λ
=1时,
S
n
=3+5+7+…+(2
n
+1)=
n
2
+2
n
. ………… 10分
当
λ
≠1时,
S
n
=3+5
λ
+7
λ
2
+…+(2
n
+1)
λ
n
-1
,
λS
n
= 3
λ
+5
λ
2
+…+(2
n
-1)
λ
n
-1
+(2
n
+1)
λ
n
.
(1-
λ
)
S
n
=3+2(
λ
+
λ
2
+
λ
3
++…+
λ
n
-1
)-(2
n
+1)
λ
n
=3+2×
-(2
n
+1)
λ
n
①当
λ
=1时,左=(1-
λ
)
S
n
+
λa
n
=
a
n
=2
n
+1≥3,结论显然成立;
②当
λ
≠1时,左=(1-
λ
)
S
n
+
λa
n
=3+2×
-(2
n
+1)
λ
n
+
λa
n
=3+2×
而
,
和
同号,故
≥0
∴
对任意
都成立 ………… 14分
点评:解决该试题的关键是利用数列的整体思想来求解通项公式,以及结合错位相减法求和得到证明,属于中档题。
举一反三
对于数列
而言,若
是以
为公差的等差数列,
是以
为公差的等差数列,依此类推,我们就称该数列为等差数列接龙,已知
,则
等于
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
是等差数列
的前
项和,若
,则
的值是
A.5
B.8
C.16
D.20
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分)
已知等差数列{
}的前n项和为Sn,且
=
(1)求通项
;
(2)求数列{
}的前n项和的最小值。
题型:不详
难度:
|
查看答案
设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和,若
=
,则
= ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设数列{a
n
},{b
n
}都是等差数列,若
,
,则
_________
题型:不详
难度:
|
查看答案
最新试题
关于做功和功率的说法中正确的是 [ ]A.在光滑水平面上做匀速直线运动的物体,没有力做功 B.有力作用在物体上,
【题文】下列各句中,加点的成语使用恰当的一句是 &
学者认为,公元1500年前后是人类历史的一个重要分水岭,从那个时候开始,人类的历史才称得上是真正意义上的世界史。这里“分
阅读理解。 The Golden Gate Bridge is one of the symbols of th
如图,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为 [ ]A、80 B、50
将一质量为2kg、底面积为0.05m的长方体平放在某一水平桌面中央,水平桌面的面积为0.8 m,则长方体对水平桌面的压强
下列只与铝反应,但不与镁反应的物质是( )A.稀硫酸B.烧碱溶液C.氧气D.氯气
下列各句中,加点的熟语使用不正确的一项是(3分)A.我自1992年7月起,进入先生曾供职的广东省博物馆从事书画鉴藏工作,
下列关于甲烷的结构,说法错误的是( )A.碳原子呈现四价B.分子呈正三角形C.C-H键属极性键D.甲烷是最简单的有机化
根据短文内容,从下框A~F选项中选出能概括每段主题的最佳选项,选项中有一项为多余项.A. A sense of humo
热门考点
What if you could fly like a bird just by thinking happy tho
|m|=m+1,则(4m+1)2004=( ).
某有机物的结构简式如图所示,它可发生的反应类型有:( )①取代;②加成;③消去;④水解;⑤酯化;⑥中和;⑦氧化
中国共产党的历史上生死攸关的转折点是[ ]A.八七会议B.三湾改编C.长征胜利D.遵义会议
下列对建国初期,新中国的经济措施的叙述,不正确的是 [ ]A.在农村引导农民互助合作,兴修水利 B.统一财经后,
听句子,选择正确图片。每个句子读两遍。( )1. ( )2. ( )3. ( )4. (
下列词语中加点的字,读音全都正确的一组是 ( )A.羼水(chàn)枸杞(qǐ)道行(héng)馄饨(h
把不等式“若是正实数,则有”推广到一般情形,并证明
(8分)取只含有少量氯化钠杂质的粉末状纯碱样品11.4g于烧杯中,逐滴加入稀盐酸至不再产生气体为止,共消耗稀盐酸的质量为
关于电磁波的说法中,错误的是[ ]A、时断时续的电流能够产生电磁波 B、电磁波不能在真空中传播 C、电磁波能传递
我国主要的植被类型
改革开放
稳态的生理意义
原始聚落(半坡原始居民)
代入消元法解二元一次方程组
验电器的原理及使用
大洲大洋名称、位置
蛋白质的提取和分离
轮轴及其他常见简单机械
机遇与挑战
超级试练试题库
© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.