试题分析:(1)由可令n=1,n=2得到关于a1与d的两个方程,从而可解出a1和d,得到an的通项公式.因为,所以显然要采用裂项求和的方法求出其前n项和. (2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题,应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集. (3)解本小题的关键由, 若成等比数列,则,即. 从而得,据此得到m的范围,找到m的值,进一步得到n的值. 解:(1)在中,令,, 得 即 ……1分 解得,, ……2分 又时,满足, , ……3分 . ……4分 (2)①当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. ……5分 ,等号在时取得 此时需满足 ……6分 ②当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立. ……7分 是随的增大而增大,时取得最小值. 此时需满足. ……8分 综合①、②可得的取值范围是. ……9分 (3), 若成等比数列,则,……10分 即. 由,可得, ……12分 即, . ……13分 又,且,所以,此时. 因此,当且仅当,时,数列中的成等比数列. …14分 [另解] 因为,故,即, . 点评:(1)由an与Sn的关系求通项要注意根据需要给n赋值,每赋一个值就可得到一个方程. (2)有关n的不等式恒成立问题,要注意题目当中如果有要注意按n为奇偶进行讨论. (3)解小题的关键是利用成等比数列,建立n与m的等式关系,下一步难点在于对式子的变形处理上,要注意体会其方法. |