设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明．

题型：不详难度：来源：

设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明．

答案

（Ⅰ）见解析（I）
（Ⅱ）见解析（Ⅱ）

解析

（I）由题意可知,且,
然后再根据,求出a₁,同时可消去S_n得到，
从而，问题得解.
由已知，，且．       ………………2分
当时，，解得．         ………………3分
当时，有．
于是，即．
于是，即．
因为，所以．   ………………6分
故数列是首项为，公差为的等差数列，且． ………………7分
（II）在（I）的基础上可求出所以,
然后采用裂项求和的方法求解即可.
因为，则． ………10分
所以2(． …13分