已知函数,设曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为,(为正数)(1)试用表示(2)若记,证明是等比数列,并求数列的通项公式;(3)若是数列的前n项和,证明:

已知函数,设曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为,(为正数)(1)试用表示(2)若记,证明是等比数列,并求数列的通项公式;(3)若是数列的前n项和,证明:

题型:不详难度:来源:
已知函数,设曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为,(为正数)
(1)试用表示
(2)若,证明是等比数列,并求数列的通项公式;
(3)若是数列的前n项和,证明:
答案
(1)(2)(3)见解析
解析
本试题主要是考查了数列与函数,以及不等式的综合运用。
(1)因为曲线y=f(x)在点处的切线与x轴的交点为,利用求出切点的斜率和点到坐标表示切线方程,进而得到结论。
(2)由(1)知
所以从而得到所证明数列是等比数列。
(3)显然恒大于0 ------------11分
因为
所以
然后分类讨论求和得到证明。
解:(1)因为 所以曲线y=f(x)在点处的切线方程是, ---------2分
令y=0得
显然所以
(或)  ----------4分
(2)由(1)知
所以  ------------6分
从而,即
所以是以为首项,为公比的等比数列  -------8分
所以,即
所以,所以 ---------10分
(3)显然恒大于0 ------11分
因为
所以 ----------12分
时,显然
时,
所以
成立,证毕 ------------14分
举一反三
已知一个数列的各项都是1或2.首项为1,且在第个1和第个1之间有个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前项的和为
参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070,2011×2012=4046132
(1)试问第2012个1为该数列的第几项?
(2)求
(3)(特保班做)是否存在正整数,使得?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
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等差数列中,若,则通项= (      )
A.B.C.D.

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(本小题满分12分).对任意函数,可按右图构造一个数列发生器.记由数列发生器产生数列

(Ⅰ)若定义函数,且输入,请写出数列的所有项;
(Ⅱ)若定义函数,且输入,求数列的通项公式
(Ⅲ)若定义函数,且要产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据的值及相应数列的通项公式
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等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,aka4=0,则k=(  )
A.10B.9C.8D.7

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设{an}是由正数组成的等比数列,且a5a6=81,log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是(     )
A.5B.10;C.20D.2或4

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