(12分)已知数列{an}满足a1=,且前n项和Sn满足:Sn=n2an,求a2,a3,a4,猜想{an}的通项公式,并加以证明。
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(12分)已知数列{an}满足a1=,且前n项和Sn满足:Sn=n2an,求a2,a3,a4,猜想{an}的通项公式,并加以证明。
题型:不详
难度:
来源:
(12分)
已知数列{a
n
}满足a
1
=
,且前n项和S
n
满足:S
n
=n
2
a
n
,求a
2
,a
3
,a
4
,猜想{a
n
}的通项公式,并加以证明。
答案
见解析
解析
利用数列的前n项公式即可求出数列的前4项,根据前4项归纳出数列的通项,然后再根据数学归纳法的步骤证明猜想成立
解:由S
得 a
由a
由此猜想a
下面用数学归纳法证明
(1)n="1" a
命题成立
(2)假设n=k时命题成立,即a
那么当n=k+1时,S
S
则 S
即a
a
所以:a
a
即 n=k+1时命题成立。
由(1)(2)知对一切n
命题成立。
举一反三
(本小题满分13分)等差数列{a
n
}中,公差d≠0,已知数列
是等比数列,其中k
1
=1,k
2
=7,k
3
=25.
(1)求数列{k
n
}的通项;
(2)若a
1
=9,设b
n
=
+
,S
n
=b
1
2
+b
2
2
+b
3
2
+…+ b
n
2
, T
n
=
+
+
+…+
,试判断数列{S
n
+T
n
}前100项中有多少项是能被4整除的整数。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
(1)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若m+n=s+t(m,n,s,t∈N
*
,且m≠n,s≠t),证明;
=
;
(2)注意到(1)中S
n
与n的函数关系,我们得到命题:设抛物线x
2
=2py(p>0)的图像上有不同的四点A,B,C,D,若x
A
,x
B
,x
C
,x
D
分别是这四点的横坐标,且x
A
+x
B
=x
C
+x
D
,则AB∥CD,判定这个命题的真假,并证明你的结论
(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线,根据(2)中的结论,对椭圆
+
=1(a>b>0)提出一个有深度的结论,并证明之.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分l2分)已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
=3且2a
n
+1
=a
n
+2
+a
n
(n∈N
*
).数列{b
n
}的前n项和为S
n
,其中b
1
=-
,b
n
+1
=-
S
n
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)若T
n
=
+
+…+
,求T
n
的表达式
题型:不详
难度:
|
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在半径为r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设
为前n个圆的面积之和,则
=
.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。已知数列
是各项均不为
的等差数列,公差为
,
为其前
项和,且满足
,
.数列
满足
,
为数列
的前n项和.
(1)求
、
和
;
(2)若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围
题型:不详
难度:
|
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