如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.

题型：不详难度：来源：

如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（1）写出、、；
（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.

答案

(Ⅰ)
（2）．

解析

（1）依题意，得.解得；
.解得；同理.（2）由猜想．利用数学归纳法证明，时，成立；假定当时命题成立，即有，寻找与的关系，用去证明.根据已知得，及，得，即．把代入求，保证.即得证明
(Ⅰ)
（2）依题意，得，由此及得
，即．
由（Ⅰ）可猜想：．
下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题显然成立；
（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及
得，即
，
解之得：（不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立