已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
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已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
题型:不详
难度:
来源:
已知等差数列{a
n
}的首项a
1
=1,公差d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b
n
}的第二、三、四项.
(1)求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式;
(2)令数列{c
n
}满足:c
n
=
,求数列{c
n
}的前101项之和T
101
;
(3)设数列{c
n
}对任意n∈N*,均有
+
+…+
=a
n
+1
成立,求c
1
+c
2
+…+c
2012
的值.
答案
(1)a
n
=2n-1. b
n
=3
n
-
1
(2)5151+
(3)c
1
+c
2
+…+c
2012
=3+2×3+2×3
2
+…+2×3
2011
=3
2012
.
解析
(1) 第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b
n
}的第二、三、四项,可建立关于d,b
1
,q的三个方程解方程组即可求解.
(2) 解本题关键是T
101
=(a
1
+a
3
+…+a
101
)+(b
2
+b
4
+…+b
100
).然后分组求和即可.
(3)先根据
+
+…+
=a
n
+1
,求出{
}的通项公式,然后根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和即可.
(1)由题意得:(a
1
+d)(a
1
+13d)=(a
1
+4d)
2
(d>0),
解得d=2,∴a
n
=2n-1. …………………………………………2分
∴b
2
=a
2
=3, b
3
=a
5
=9,∴b
n
=3
n
-
1
…………………………………………4分
(2)∵a
101
=201,b
2
=3
∴T
101
=(a
1
+a
3
+…+a
101
)+(b
2
+b
4
+…+b
100
)=
+
=5151+
…………………10分
(3)当n≥2时,由
=
+
+…+
-(
+
+…+
)=a
n
+1
-a
n
=2
得c
n
=2b
n
=2·3
n
-
1
,
当n=1时,c
1
=3.故c
n
=
……………………………13分
故c
1
+c
2
+…+c
2012
=3+2×3+2×3
2
+…+2×3
2011
=3
2012
.
举一反三
如图1,在y轴的正半轴上依次有点A
1
,A
2
,…,A
n
,…,A
1
,A
2
的坐标分别为(0,1),(0,10),且
(n=2,3,4,…). 在射线y=x(x≥0)上依次有点B
1
,B
2
,…,B
n
,…,点B
1
的坐标为(3,3),且
(n=2,3,4,…).
(1)用含n的式子表示
;
(2)用含n 的式子分别表示点A
n
、B
n
的坐标;
(3)求四边形
面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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各项为正数的数列
,其前
项的和为
,且
,若
,且数列
的前
项的和为
,则
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
单调递增,且各项非负,对于正整数
,若任意的
,
(
≤
≤
≤
),
仍是
中的项,则称数列
为“
项可减数列”.
(1)已知数列
是首项为2,公比为2的等比数列,且数列
是“
项可减数
列”,试确定
的最大值;
(2)求证:若数列
是“
项可减数列”,则其前
项的和
;
(3)已知
是各项非负的递增数列,写出(2)的逆命题,判断该逆命题的真假,
并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在公差不为0的等差数列
成等比数列,则该等比数列的公比
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
的每一项都有
求数列
的前n项和
题型:不详
难度:
|
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