(1)根据题意可知 , 易得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115943-28262.png) ,即数列 一定是“2项可减数列”. (2)因为数列 是“ 项可减数列”, 所以 必定是数列 中的项. 而 是递增数列,故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115944-47125.png) , 所以必有 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115945-54898.png) , 是解决本小题的关键. (3) 的逆命题为: 已知数列 为各项非负的递增数列,若其前 项的和满足 , 则该数列一定是“ 项可减数列”,该逆命题为真命题. 证明要注意利用 ≤ ≤ ,求出 的通项公式. (1)设 ,则 , 易得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115943-28262.png) ,即数列 一定是“2项可减数列”, 但因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115946-54818.png) ,所以 的最大值为2. ………………5分 (2)因为数列 是“ 项可减数列”, 所以 必定是数列 中的项, ………………………7分 而 是递增数列,故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115944-47125.png) , 所以必有 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115945-54898.png) , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115947-87646.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115947-33494.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115949-40443.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115949-35980.png) , 所以 ,即 . 又由定义知,数列 也是“ 项可减数列” , 所以 . ……………………………10分 (3)(2)的逆命题为: 已知数列 为各项非负的递增数列,若其前 项的和满足 , 则该数列一定是“ 项可减数列”,该逆命题为真命题.……………………12分 理由如下:因为 ≤ ≤ ,所以当 ≥ 时, , 两式相减,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115951-19602.png) ,即 ( ) 则当 时,有 ( ) 由( )-( ),得 , 又 ,所以 ,故数列 是首项为0的递增等差数列. 设公差为 ,则 , 对于任意的 ≤ ≤ ≤ ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012115941-14721.png) , 因为 ≤ ,所以 仍是 中的项, 故数列 是“ 项可减数列”. |