已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am是首项为10,公差为-2的等差数列;am+1,am+2,…,a2m是首项为,公比为的等比数列(其中 m≥3,m∈N*

已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am是首项为10,公差为-2的等差数列;am+1,am+2,…,a2m是首项为,公比为的等比数列(其中 m≥3,m∈N*

题型:不详难度:来源:
已知无穷数列{an}中,a1a2,…,am是首项为10,公差为-2的等差数列;am+1
am+2,…,a2m是首项为,公比为的等比数列(其中 m≥3,m∈N*),并对任意的n∈N*,均有an+2man成立.
(1)当m=12时,求a2010
(2)若a52,试求m的值;
(3)判断是否存在mm≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立?若存在,试求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)a2010a18a12+6
(2),m=45,或15,或9.
(3)不存在mm≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立.
解析
解(1)m=12时,数列的周期为24.
∵2010=24×83+18,而a18是等比数列中的项,
a2010a18a12+6
(2)设amk是第一个周期中等比数列中的第k项,则amk
,∴等比数列中至少有7项,即m≥7,则一个周期中至少有14项.
a52最多是第三个周期中的项.
a52是第一个周期中的项,则a52am+7
m=52-7=45;
a52是第二个周期中的项,则a52a3m+7.∴3m=45,m=15;
a52是第三个周期中的项,则a52a5m+7.∴5m=45,m=9;
综上,m=45,或15,或9.
(3)2m是此数列的周期,
S128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和.
S2m最大时,S128m+3最大.
S2m
m=6时,S2m=31-
m≤5时,S2m
m≤7时,S2m=29<
∴当m=6时,S2m取得最大值,则S128m+3取得最大值为64×+24=2007.
由此可知,不存在mm≥3,m∈N*),使得S128m+3≥2010成立.
举一反三
(本小题满分分)
(Ⅰ)若是公差不为零的等差数列的前n项和,且成等比数列,求数列的公比;
(II)设是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列。
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等比数列中,=         
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在等差数列{}中,=18,前5项的和
(1)求数列{}的通项公式;  (2)求数列{}的前项和的最小值,并指出何时取最小.
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是正数等差数列,是正数等比数列,且,则 (   )
A.B.C.D.

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如图,它满足①第n行首尾两数均为n,②从第三行起,每行除首末两个数以外,每个数都等于上一行相邻两个数的和(比如第5行的第二个数11=4+7,第三个数14="7+7," 第6行的第二个数16=5+11,第三个数25=11+14),则第n行第2个数是              .
1
2    2
3     4     3
4     7     7     4
5    11    14     11     5
6    16    25    25     16     6
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