设数列满足且 (Ⅰ)求,并求数列的通项公式； (Ⅱ)对一切，证明成立； (Ⅲ)记数列的前项和分别是，证明

题型：不详难度：来源：

设数列满足且
(Ⅰ)求,并求数列的通项公式；
(Ⅱ)对一切，证明成立；
(Ⅲ)记数列的前项和分别是，证明

答案

 ，   ，

解析

 解：（1） ，   ，……………………(2分)
由得……………………(3分)
即数列是以为首项，以为公比的等比数列
……………………(4分)
注：用数学归纳法也可以。
（2）
要证明只需证明
即证即证明成立……………………(6分)
构造函数……………………(7分)
则，……………………(8分)
当时，，即在上单调递减，所以
，即对一切都成立，