考查等差数列及数列分组求和知识 证明:(1)由已知有:,从而, 方法一:取,则() 用反证法证明这些都是无理数. 假设为有理数,则必为正整数,且, 故.,与矛盾, 所以()都是无理数,即数列中有无穷多项为无理数; 方法二:因为,当的末位数字是时,的末位数字是和,它不是整数的平方,也不是既约分数的平方,故此时不是有理数,因这种有无穷多,故这种无理项也有无穷多. (2) 要使为整数,由可知: 同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有或 当时,有() 又必为偶数,所以()满足 即()时,为整数; 同理有() 也满足,即()时,为整数; 显然和()是数列中的不同项; 所以当()和()时,为整数; 由()有, 由()有. 设中满足的所有整数项的和为,则
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