(本小题满分14分)在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.(Ⅰ)证明成等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)记,证明.
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(本小题满分14分)在数列中,=0,且对任意k,成等差数列,其公差为2k.(Ⅰ)证明成等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)记,证明.
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
在数列
中,
=0,且对任意k
,
成等差数列,其公差为2k.
(Ⅰ)证明
成等比数列;
(Ⅱ)
求数列
的通项公
式;
(Ⅲ)记
,证明
.
答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
解析
(本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法,满分14分。
(I)证明:由题设可知,
,
,
,
,
。
从而
,所以
,
,
成等比数列。
(II)解:由题设可得
所以
.
由
,得
,从而
.
所以数列
的通项公式为
或写为
,
。
(III)证明:由(II)可知
,
,
以下分两种情况进行讨论:
(1) 当n为偶数时,设n=2m
若
,则
,
若
,则
.
所以
,从而
(2) 当n为奇数时,设
。
所以
,从而
综合(1)和(2)可知,对任意
有
举一反三
设数列
满足
(1) 求数列
的通项公式;
(2) 令
,求数列的前n项和
题型:不详
难度:
|
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在数列
中,
,且对任意
.
,
,
成等差数列,其公差为
。
(Ⅰ)若
=
,证明
,
,
成等比数列(
)
(Ⅱ)若对任意
,
,
,
成等比数列,其公比为
。 证明:对任意
,
,有
题型:不详
难度:
|
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已知数列
满足
则
的最小值为__________.
题型:不详
难度:
|
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设
,将
的最小值记为
,则
其中
="__________________" .
题型:不详
难度:
|
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设
为实数,首项为
,公差为
的等差数列
的前
项和为
,满足
,
则
的取值范围是__________________ .
题型:不详
难度:
|
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