设数列的前n项积为；数列的前n项和为．（1）设．①证明数列成等差数列；②求证数列的通项公式；（2）若恒成立，求实数k的取值范围．

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设数列的前n项积为；数列的前n项和为．
（1）设．①证明数列成等差数列；②求证数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围．

答案

（1）数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
②．
（2）实数的取值范围为．

解析

（1）①由得：，
，即．
又，
∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
②，，．
（2）∵，
∴，，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴．
∵对恒成立
∴对恒成立，
即对恒成立
设，则
∵，，∴
∴当时，单调递减．
设，则
∴当时，单调递增；；当时，单调递减
设，则，
∴最大，且．∴实数的取值范围为．