若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列
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若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)把数列
题型:不详
难度:
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若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列
是调和数列,对于各项都是正数的数列
,满足
.
(Ⅰ)证明数列
是等比数列;
(Ⅱ)把数列
中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表,当
时,求第
行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列
,证明:
.
答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
解析
(Ⅰ)证明:因为
,且数列
中各项都是正数,
所以
.
设
, ①
因为数列
是调和数列,故
,
.
所以,
. ②
由①得
,代入②式得,
所以
,即
.
故
,所以数列
是等比数列. …………………………5分
(Ⅱ)设
的公比为
,则
,即
.由于
,故
.
于是
.
注意到第
行共有
个数,
所以三角形数表中第1行至第
行共含有
个数.
因此第
行第1个数是数列
中的第
项.
故第
行第1个数是
,
所以第
行各数的和为
. ………… 9分
(Ⅲ)因为
,所以
.
所以
.
又
,
,
所以
.
所以
. ………………………14分
举一反三
数列
的前
项和为
,已知
,
,则
.
题型:不详
难度:
|
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(14分)设集合W由满足下列两个条件的数列
构成:
①
②存在实数M,使
(n为正整数)
(I)在只有5项的有限数列
;试判断数列
是否为集合W的元素;
(II)设
是各项为正的等比数列,
是其前n项和,
证明数列
;并写出M的取值范围;
(III)设数列
且对满足条件的M的最小值M
0
,都有
.
求证:数列
单调递增.
题型:不详
难度:
|
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已知
是等差数列
的前
项和,若
,则
的值是( )
A.24
B.42
C.60
D.78
题型:不详
难度:
|
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已知数列
满足
,
,则此数列的通项
等于
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知等差数列
的中,公差
,前
项和
,则
与
分别为
A.10,8
B.13,29
C.13,8
D.10,29
题型:不详
难度:
|
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