（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数M，使（n为正整数）（I）在只有5项的有限数列；试判断数列是否为集合W的元素；（II）设是各项为正的

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（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成：
①
②存在实数M，使（n为正整数）
（I）在只有5项的有限数列
；试判断数列是否为集合W的元素；
（II）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；
（III）设数列且对满足条件的M的最小值M₀，都有.
求证：数列单调递增.

答案

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）见解析

解析

（I）对于数列，
取显然不满足集合W的条件，①
故不是集合W中的元素，                                                             …………2分
对于数列，当时，
不仅有
而且有，
显然满足集合W的条件①②，
故是集合W中的元素.                                                                      …………4分
（II）是各项为正数的等比数列，是其前n项和，

设其公比为q>0，
整理得

                                                                                               …………7分
对于
且
故，且                                                                …………9分
（III）证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数k，
使，易证于任意的，都有，证明如下：
假设
当n=m+1时，由
而
所以
所以，对于任意的
显然这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为；
所以与这题矛盾.
所以假设不成立，故命题得证.                                                            …………14分