本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识,考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。 (I)因
由此有,故猜想的通项为
从而 (Ⅱ)令xn=log2an.则,故只需求x2的值。 设Sn表示xn的前n项和,则a1a2…an=,由2≤a1a2…an<4得 ≤Sn=x1+x2+…+xn<2 (n≥2). 因上式对n=2成立,可得≤x1+x2,又由a1=2,得x1=1,故x2≥. 由于a1=2,(n∈N*),得(n∈N*),即 , 因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为的等比数列,故 xn+1+2xn=(x2+2) (n∈N*). 将上式对n求和得 Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2-)(n≥2). 因Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且x1=1,故 (x2+2)(2-)<5(n≥2). 因此(n≥2). 下证x2≤,若不然,假设x2>,则由上式知,不等式 2n-1< 对n≥2恒成立,但这是不可能的,因此x2≤. 又x2≥,故x2=,所以 |