已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+sn-1(n≥2).(Ⅰ)求证:{Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记数列{1
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已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+sn-1(n≥2).(Ⅰ)求证:{Sn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记数列{1
题型:浙江模拟
难度:
来源:
已知正项数列{a
n
}的首项a
1
=1,前n项和S
n
满足
a
n
=
S
n
+
s
n-1
(n≥2).
(Ⅰ)求证:{
S
n
}为等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)记数列{
1
a
n
a
n+1
}的前n项和为T
n
,若对任意的n∈N
*
,不等式4T
n
<a
2
-a恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(I)∵
a
n
=
S
n
+
s
n-1
∴
s
n
-
s
n-1
=
s
n
+
s
n-1
∴
s
n
-
s
n-1
=1
∴数列{
s
n
}是首项为1,公差为1的等差数列
∴
s
n
=1+(n-1)
=n
∴
s
n
=
n
2
∴
a
n
=
s
n
+
s
n-1
=n+n-1=2n-1(n≥2)
当n=1时,a
1
=1也适合
∴a
n
=2n-1
(II)∵
1
a
n
a
n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
∴
T
n
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)
=
n
2n+1
∴T
n
<
1
2
∵4T
n
<a
2
-a恒成立
∴2≤a
2
-a,解得a≥2或a≤-1
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B.3
C.17
D.-11
题型:广元二模
难度:
|
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若数列{b
n
}满足:对于n∈N
*
,都有b
n+2
-b
n
=d(常数),则称数列{b
n
}是公差为d的准等差数列.如:若
c
n
=
4n-1,当n为奇数时
4n+9,当n为偶数时.
则{c
n
}是公差为8的准等差数列.
(1)求上述准等差数列{c
n
}的第8项c
8
、第9项c
9
以及前9项的和T
9
;
(2)设数列{a
n
}满足:a
1
=a,对于n∈N
*
,都有a
n
+a
n+1
=2n.求证:{a
n
}为准等差数列,并求其通项公式;
(3)设(2)中的数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
63
>2012,求a的取值范围.
题型:闸北区一模
难度:
|
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设数列{a
n
}的各项都是正数,且对任意n∈N
*
,都有(a
n
-1)(a
n
+3)=4S
n
,其中S
n
为数列{a
n
}的前n项和.
(Ⅰ)求证数列{a
n
}是等差数列;
(Ⅱ)若数列
{
4
a
2n
-1
}
的前n项和为T
n
,试证明不等式
1
2
≤
T
n
<1成立.
题型:日照二模
难度:
|
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已知角α,β,γ,构成公差为
π
3
的等差数列.若cosβ=-
2
3
,则cosα+cosγ=______.
题型:成都一模
难度:
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设数列{a
n
}的各项都为正数,其前n项和为S
n
,已知对任意n∈N
*
,S
n
是
a
2n
和a
n
的等差中项.
(Ⅰ)证明数列{a
n
}为等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)证明
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
<2
.
题型:南充一模
难度:
|
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