设数列{an}是公差为d的等差数列,a3+a5=2,S20=150,又bn=2an-2an+1(n∈N*)(1)求a1,d;(2)求证{bn}是等比数列,并求b
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设数列{an}是公差为d的等差数列,a3+a5=2,S20=150,又bn=2an-2an+1(n∈N*)(1)求a1,d;(2)求证{bn}是等比数列,并求b
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}是公差为d的等差数列,a
3
+a
5
=2,S
20
=150,又
b
n
=
2
a
n
-2
a
n+1
(n∈
N
*
)
(1)求a
1
,d;
(2)求证{b
n
}是等比数列,并求b
n
的通项公式;
(3)设k为某自然数,且满足
lim
n→∞
(
b
k
b
k+1
+
b
k+1
b
k+2
+…+
b
n
b
n+1
)=
1
96
,求k的值.
答案
(1)由等差数列的通项公式及求和公式可得
a
1
+2d+
a
1
+4d=2
20
a
1
+
20×19d
2
=150
∴d=1,a
1
=-2
(2)∵
b
n
=
2
a
n
-2
a
n+1
=2
1-n
=
(
1
2
)
n-1
∴
b
n
b
n-1
=
1
2
∴数列{b
n
}是以
1
2
为公比的等比数列,
b
n
=
1
2
n-1
(3)∵b
k
b
k+1
=
1
2
k-1
•
2
k
=
2
4
k
∴
lim
n→∞
(
b
k
b
k+1
+
b
k+1
b
k+2
+…+
b
n
b
n+1
)
=
lim
n→∞
(
2
4
k
+
2
4
k+1
+…+
2
4
n
)
=
2
3×
4
k-1
=
1
96
∴k=4
举一反三
已知等差数列{a
n
}中,公差d>0,其前n项和为S
n
,且满足a
2
•a
3
=45,a
1
=a
4
=14.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设由b
n
=
S
n
n+c
(c≠0)构成的新数列为{b
n
},求证:当且仅当c=-
1
2
时,数列{b
n
}是等差数列;
(3)对于(2)中的等差数列{b
n
},设c
n
=
8
(
a
n
+7)•
b
n
(n∈N
*
),数列{c
n
}的前n项和为T
n
,现有数列{f(n)},f(n)=T
n
•(a
n
+3-
8
b
n
)•0.9
n
(n∈N
*
),是否存在n
0
∈N
*
,使f(n)≤f(n
0
)对一切n∈N
*
都成立?若存在,求出n
0
的值,若不存在,请说明理由.
题型:广东模拟
难度:
|
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如果数列{a
n
}满足a
1
=3,a
n
-a
n+1
=5a
n
a
n+1
(n∈N
*
),则a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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若等差数列{a
n
}中,a
3
+a
12
=2011,a
9
=2008,则a
6
=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,a
1
+a
4
+a
7
=36,a
2
+a
5
+a
8
=33,则a
3
+a
6
+a
9
=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}满足
lim
n→∞
S
n
2
n
2
=1
,试写出满足上述条件的{a
n
}的一个通项公式______.
题型:不详
难度:
|
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