已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>n,Sn-Sm=qmSn-m恒成立.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)若正
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已知实数q≠0,数列{an}的前n项和Sn,a1≠0,对于任意正整数m,n且m>n,Sn-Sm=qmSn-m恒成立. (1)证明数列{an}是等比数列; (2)若正整数i,j,k成公差为3的等差数列,Si,Sj,Sk按一定顺序排列成等差数列,求q的值. |
答案
(1)令m=1,Sn-a1=qSn-1,Sn+1-a1=qSn,两式相减得:an+1=qan(n≥2), 令n=1,a2=qa1,所以数列{an}是等比数列, (2)不妨设公差为3的等差数列为 i,i+3,i+6,若Si,Si+3,Si+6成等差数列, 则 ai+1+ai+2+ai+3=ai+4+ai+5+ai+6=( ai+1+ai+2+ai+3 )q3, 即 1=q3,解得 q=1. 若Si+3,Si,Si+6成等差数列,则-( ai+1+ai+2+ai+3 )=( ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ), ∴2( ai+1+ai+2+ai+3 )+( ai+1+ai+2+ai+3 )q3=0,即 2+q3=0,解得 q=-. 若Si+3,Si+6,Si成等差数列,则有 ( ai+4+ai+5+ai+6)=-( ai+1+ai+2+ai+3+ai+4+ai+5+ai+6 ), ∴2( ai+1+ai+2+ai+3 )q3+( ai+1+ai+2+ai+3 )=0,∴2q3+1=0,解得q=-. 综上可得,q的值等于1,或等于-,或等于-. |
举一反三
已知{an}为等差数列,若a3+a4+a8=9,则S9=( ) |
在二项式(+)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为( ) |
已知数列{an},{bn}满足a1=2,2an=1+anan+1,bn=an-1,数列{bn}的前n项和为Sn,Tn=S2n-Sn. (1)求证:数列{}为等差数列,并求通项bn; (2)求证:Tn+1>Tn; (3)求证:当n≥2时,S2n≥. |
已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的r,t∈N*,都有=( )2. (Ⅰ)判断数列{an}是否为等差数列,并证明你的结论; (Ⅱ)若数列{bn}的第n项bn是数列{an}的第bn-1项(n≥2,n∈N*),且a1=1,b1=3,求数列{bn}的前n项和Tn. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,… (1)证明:数列{Sn}是等差数列,并求Sn; (2)设bn=,求证:b1+b2+…+bn<. |
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