已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的r,t∈N*,都有SrSt=( rt )2.(Ⅰ)判断数列{an}是否为等差数列,并证明你的结论;(Ⅱ)
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已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的r,t∈N*,都有SrSt=( rt )2.(Ⅰ)判断数列{an}是否为等差数列,并证明你的结论;(Ⅱ)
题型:不详
难度:
来源:
已知首项不为零的数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若对任意的r,t∈N
*
,都有
S
r
S
t
=(
r
t
)
2
.
(Ⅰ)判断数列{a
n
}是否为等差数列,并证明你的结论;
(Ⅱ)若数列{b
n
}的第n项b
n
是数列{a
n
}的第b
n-1
项(n≥2,n∈N
*
),且a
1
=1,b
1
=3,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
答案
(Ⅰ)令t=1,r=n,得
S
n
S
1
=
n
2
,于是S
n
=n
2
a
1
.
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=(2n-1)a
1
;
当n=1时,S
1
=a
1
也适合上式.
综上知,a
n
=(2n-1)a
1
.
所以a
n
-a
n-1
=2a
1
.
故数列{a
n
}是公差d=2a
1
的等差数列.
(Ⅱ)当a
1
=1时,由(Ⅰ)知,a
n
=2n-1.
于是b
n
=2b
n-1
-1,即b
n
-1=2(b
n-1
-1).
因此数列{b
n
-1}是首项为b
1
-1=2,公比为2的等比数列,所以b
n
-1=2×2
n-1
=2
n
.即b
n
=2
n
+1.
故
T
n
=
b
1
+
b
1
++
b
n
=(
2
1
+
2
2
++
2
n
)+n=
2 ( 1-
2
n
)
1-2
+n=
2
n+1
+n-2
.
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
a
1
=
1
2
,
S
n
=
n
2
a
n
-n(n-1),n=1,2,…
(1)证明:数列
{
n+1
n
S
n
}
是等差数列,并求S
n
;
(2)设
b
n
=
S
n
n
3
+3
n
2
,求证:
b
1
+
b
2
+…+
b
n
<
5
12
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
函数f(x)的定义域为R,数列{a
n
}满足a
n
=f(a
n-1
)(n∈N
*
且n≥2).
(Ⅰ)若数列{a
n
}是等差数列,a
1
≠a
2
,且f(a
n
)-f(a
n-1
)=k(a
n
-a
n-1
)(k为非零常数,n∈N
*
且n≥2),求k的值;
(Ⅱ)若f(x)=kx(k>1),a
1
=2,
b
n
=ln
a
n
(n∈
N
*
)
,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,对于给定的正整数m,如果
S
(m+1)n
S
mn
的值与n无关,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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已知正数组成的等差数列{a
n
}的前20项的和100,那么a
6
•a
15
最大值是( )
A.25
B.50
C.100
D.不存在
题型:汕头一模
难度:
|
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定义运算
.
a
b
c
d
.
=ad-bc
,函数
f(x)=
.
x-1
2
-x
x+3
.
图象的顶点是(m,n),且k、m、n、r成等差数列,则k+r=______.
题型:德州一模
难度:
|
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已知数列{a
n
}是等比数列,S
n
为其前n项和.
(I)设
S
3
=
3
2
,
S
6
=
21
16
,求a
n
;
(II)若S
4
,S
10
,S
7
成等差数列,证明a
1
,a
7
,a
4
也成等差数列.
题型:不详
难度:
|
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