(Ⅰ)因为=f()=, 所以=+1, 即-=1,=1+(n-1)=n, 即an=.(4分) 因为Sn=[+(+1)n]=n2+(1+)n, 当n=1时,S1=b1=+1, 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=1+ n, 所以bn= n+1(n∈N*).(6分) 又因为b4+b6=4+1+6+1=10+2, 所以令bt=10+2 (t∈N*), 则10+2=t+1; 得到t=10+与t∈N*矛盾, 所以b4+b6不在数列{bn}中.(8分) (Ⅱ)充分性:若存在整数m≥-1,使c1=md. 设cr,ct为数列{cn}中不同的两项, 则cr+ct=c1+(r-1)d+c1+(t-1)d=c1+(r+m+t-2)d=c1+[(r+m+t-1)-1]d. 又r+t≥3且m≥-1,所以r+m+t-1≥1. 即cr+ct是数列{cn}的第r+m+t-1项.(11分) 必要性:若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项, 则cs=c1+(s-1)d,ct=c1+(t-1)d, (s,t为互不相同的正整数) 则cs+ct=2c1+(s+t-2)d,令cs+ct=cl, 得到2c1+(s+t-2)d=c1+(l-1)d(n,t,s∈N*), 所以c1=(l-s-t+1)d, 令整数m=l-s-t+1,所以c1=md. (14分) 下证整数m≥-1 若设整数m<-1,则-m≥2.令k=-m, 由题设取c1,ck使c1+ck=cr(r≥1) 即c1+c1+(k-1)d=c1+(r-1)d, 所以md+(-m-1)d=(r-1)d 即rd=0与r≥1,d≠0相矛盾,所以m≥-1. 综上,数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项的充要条件是存在整数m≥-1,使c1=md.(16分) |