证明以下命题:(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得a2,b2,c2成等差数列.(2)存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正

证明以下命题:(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得a2,b2,c2成等差数列.(2)存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正

题型:江西难度:来源:
证明以下命题:
(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得a2,b2,c2成等差数列.
(2)存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正整数且an2,bn2,cn2成等差数列.
答案
解(1)考虑到结构特征,取特值12,52,72满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立.
(2)证明:当an2,bn2,cn2成等差数列,则bn2-an2=cn2-bn2
分解得:(bn+an)(bn-an)=(cn+bn)(cn-bn
选取关于n的一个多项式,4n(n2-1)做两种途径的分解4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n2-2n)(2n+2)4n(n2-1)
对比目标式,构造





an=n2-2n-1
bn=n2+1
cn=n2+2n-1
(n≥4)
,由第一问结论得,等差数列成立,
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边.
下证互不相似.
任取正整数m,n,若△m,△n相似:则三边对应成比例
m2-2m-1
n2-2n-1
=
m2+1
n2+1
=
m2+2m-1
n2+2n-1

由比例的性质得:
m-1
n-1
=
m+1
n+1
⇒m=n
,与约定不同的值矛盾,故互不相似.
举一反三
若Sn是等差数列{an}的前n项和,且a5=10,S3=3,则(  )
A.a1=-2,d=3B.a1=2,d=-3C.a1=-3,d=2D.a1=3,d=-2
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已知数列{an}的通项公式是an=2n-3,将数列中各项进行如下分组:第1组1个数(a1),第2组2个数(a2,a3)第3组3个数(a4,a5,a6),依此类推,…,则第16组的第1个数是(  )
A.239B.269C.699D.2009
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如果已知bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠0)有两个相等的实数根,求证a,b,c成等差数列.
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在圆x2+y2=5x内,过点(
5
2
3
2
)
有n条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项a1,最长弦长为an,若公差d∈(
1
6
1
3
]
,那么n的取值集合为(  )
A.{4,5,6}B.{6,7,8,9}C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}
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首项为-30的等差数列,从第7项开始为正,则公差d的取值范围是(  )
A.5≤d<6B.d<6C.5<d≤6D.d>5
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