已知等差数列a，b，c中的三个数都是正数，且公差不为零，求证它们的倒数所组成的数列1a，1b，1c不可能成等差数列．

题型：不详难度：来源：

已知等差数列a，b，c中的三个数都是正数，且公差不为零，求证它们的倒数所组成的数列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列．

答案

证明（反证法）：假设

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，
则

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，即

a-b

ba

=

b-c

cb

两边乘以b，得

a-b

a

=

b-c

c

，
又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零，
∴a-b=b-c≠0．由以上两式，可知

1

a

=

1

c

．
两边都乘以ac，得a=c、
这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾，
所以数列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差数列