已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），a1=12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足
a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n表达式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

答案

解（1）∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2为首项，公差为2的等差数列．

（2）由（1）

1

Sn

=2+（n-1）2=2n，
∴S_n=

1

2n

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2n(n-1)

n=1时，a₁=S₁=

1

2

，
∴a_n=

1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

；

（3）由（2）知b_n=2（1-n）a_n=

1

n

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＜1．