已知数列{an}中，Sn表示前n项和，如果an＞0，an+2=22Sn．求证数列{an}为等差数列．

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}中，S_n表示前n项和，如果a_n＞0，a_n+2=2

2Sn

．求证数列{a_n}为等差数列．

答案

证明：由题意可得：数列{a_n}中有a_n+2=2

2Sn

，
所以8S_n=（a_n+2）²=a_n²+4a_n+4…①
所以当n≥2时有：8S_n-1=（a_n-1+2）²=a_n-1²+4a_n-1+4…②
由①-②可得：8a_n=a_n²+4a_n-a_n-1²-4a_n-1，
所以整理可得：4（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
因为a_n＞0，即a_n+a_n-1＞0
所以a_n-a_n-1=4=常数，
所以由等差数列的定义可得：数列{a_n}为等差数列．
故数列{a_n}为等差数列．