在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2)(Ⅰ)证明:{1an}是等差数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项;(Ⅲ)若λan+1an+1
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在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2)(Ⅰ)证明:{1an}是等差数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项;(Ⅲ)若λan+1an+1
题型:不详
难度:
来源:
在数列{a
n
}中,a
1
=1,3a
n
a
n-1
+a
n
-a
n-1
=0(n≥2)
(Ⅰ)证明:
{
1
a
n
}
是等差数列;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项;
(Ⅲ)若
λ
a
n
+
1
a
n+1
≥λ
对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
(Ⅰ)将3a
n
a
n-1
+a
n
-a
n-1
=0(n≥2)整理得:
1
a
n
-
1
a
n-1
=3(n≥2)
,
所以
{
1
a
n
}
是以1为首项,3为公差的等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:
1
a
n
=1+3(n-1)=3n-2
,所以
a
n
=
1
3n-2
.
(Ⅲ)若
λ
a
n
+
1
a
n+1
≥λ
恒成立,即
λ
3n-2
+3n+1≥λ
恒成立,整理得:
λ≤
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
.
令
c
n
=
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
,
则可得
c
n+1
-
c
n
=
(3n+4)(3n+1)
3n
-
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
=
(3n+1)(3n-4)
3n(n-1)
.
因为n≥2,所以
(3n+1)(3n-4)
3n(n-1)
>0,即{c
n
}为单调递增数列,所以c
2
最小,
c
2
=
28
3
,
所以λ的取值范围为
(-∞,
28
3
]
.
举一反三
数列{a
n
}各项均为正数,其前n项和为S
n
,且满足
2
a
n
S
n
-
a
n
2
=1
.
(Ⅰ)求证数列{
S
2n
}为等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
2
4S
4n
-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
,并求使T
n
>
1
6
(m
2
-3m) 对所有的n∈N
*
都成立的最大正整数m的值.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,已知a
1
+a
13
=16,则a
2
+a
12
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
1
,2S
2
,3S
3
成等差数列,且S
4
=
40
27
,求数列{a
n
}的通项公式.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,已知a
2
≤7,a
6
≥9,则a
10
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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S
n
为等差数列a
n
的前n项和,S
2
=S
6
,a
4
=1则a
5
=______.
题型:辽宁
难度:
|
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