数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn-an2=1.(Ⅰ)求证数列{S2n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=24S4
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数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn-an2=1.(Ⅰ)求证数列{S2n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=24S4
题型:不详
难度:
来源:
数列{a
n
}各项均为正数,其前n项和为S
n
,且满足
2
a
n
S
n
-
a
n
2
=1
.
(Ⅰ)求证数列{
S
2n
}为等差数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
2
4S
4n
-1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
,并求使T
n
>
1
6
(m
2
-3m) 对所有的n∈N
*
都成立的最大正整数m的值.
答案
(Ⅰ)证明:∵
2
a
n
S
n
-
a
n
2
=1
,∴当n≥2时,
2
(S
n
-
S
n-1
)
S
n
-
(S
n
-
S
n-1
)
2
=1
,
整理得,
S
n
2
-
S
n-1
2
=1(n≥2),(2分)
又
S
1
2
=1
,(3分)
∴数列{
S
2n
}为首项和公差都是1的等差数列. (4分)
∴
S
2n
=n,
又S
n
>0,∴S
n
=
n
(5分)
∴n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=
n
-
n-1
,又a
1
=S
1
=1适合此式
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
=
n
-
n-1
;((7分)
(Ⅱ)∵b
n
=
2
4S
4n
-1
=
2
(2n-1)(2n+1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1
(8分)
∴T
n
=1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
=1-
1
2n+1
=
2n
2n+1
(10分)
∴T
n
≥
2
3
,
依题意有
2
3
>
1
6
(m
2
-3m),解得-1<m<4,
故所求最大正整数m的值为3 (12分)
举一反三
在等差数列{a
n
}中,已知a
1
+a
13
=16,则a
2
+a
12
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
1
,2S
2
,3S
3
成等差数列,且S
4
=
40
27
,求数列{a
n
}的通项公式.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,已知a
2
≤7,a
6
≥9,则a
10
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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S
n
为等差数列a
n
的前n项和,S
2
=S
6
,a
4
=1则a
5
=______.
题型:辽宁
难度:
|
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设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
9
=81,则a
2
+a
5
+a
8
=______.
题型:蓝山县模拟
难度:
|
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